Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения. Обучение общему приёму решения систем уравнений

Основные способы решения уравнений в начальной школе: 1) подбор и 2) на основе зависимости между компонентами и ре­зультатом действия.

Подбор. Первым и ведущим способом решения уравнений должен быть подбор. Мы уже говорили, что этот способ основан на строгом

определении уравнения, отражает общий смысл понятия уравнения. Чтобы этот смысл был понят и принят необходимо, чтобы учащиеся приобрели достаточный опыт выполнения основных действий при подборе корня, так как владение ими необходимо при проверке ре­шении уравнения любым способом. Такими действиями являются: замена символа его значением, установление истинностного зна­чения числового равенства (верное или неверное?).

Решение уравнения подбором нужно включать в уроки и тогда, когда учащиеся познакомятся и с другими способами решения урав­нений. Такое решение может быть из видов заданий при освоении учащимися вычислительных алгоритмов, при изучении свойств дей­ствий, овладении умениями находить значения числовых выражений в несколько действий.

Задания . 1. Реши следующие уравнения, подобрав корень с по­мощью свойств арифметических действий: х + 3 = 3 + 4; 12 - (7 + х ) = = 12 - 7 - 10; 17 · (х + 5) = 17 · 10 + 17 · 5; 27 · 5 + 27 · х = 27 · 20. 2. Дано уравнение 393 · х - 2 430: 5 = 6 195, корнем которого является одно из чисел из чисел 15 или 17; определи корень уравнения.

При решении подбором в рассмотрение можно брать любые уравнения, например такое (х + 3) - (4 + х) = 11, или после изучения умножения на нуль такое (х - 7) · (х - 14) · (5 - х) = 0. Полезно обра­щение к решению уравнений подбором и в процессе овладения уча­щимися действиями с многозначными числами. При любых способах решения, подстановка в уравнение значения переменной и вычисле­ние значений числовых выражений, расположенных слева и справа от знака =, установление того, верное или неверное равенство по­лучилось, являются средствами проверки решения. Таким образом, нахождение корня уравнения подбором полезно, прежде всего, как средство формирования понятия уравнения, как средство проверки найденного другим способом корня.

Способ, основанный на зависимости между компонентами и результатом действия. Это следующие зависимости: между сум­мой и слагаемыми (a + b  = c  <-> c  - b  = a, c  - a = b - если из суммы слагаемых вычесть одно из слагаемых, то получится другое); между разностью и вычитаемым, между разностью и уменьшаемым (a - b  = c  < r -> b + c  = a, a - c  = b - если к вычитаемому прибавить разность, то получится уменьшаемое; если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое); между произведением и множителями (ab = c < r -> c : b = a , c : a = b - если произведение разделить на мно­житель, то получится другой множитель); между частным и делимым, между частным и делителем (a : b = q <-> a  = bq , a : q = b - если частное умножить на делитель, то получится делимое; если делимое разделить на частное, то получится делитель). Обратим внимание, что зависи­мость действует в ситуации, выраженной в записи истинным число­вым равенством. Все буквенные записи свойств представляют истин-

ные числовые равенства для некоторой тройки чисел. Перечисленные свойства характеризуют связь действий, которые называют взаимно обратными: сложения и вычитания, умножения и деления.

Если в равенствах, выражающих зависимость между компонента­ми и результатами действий, поменяем левую и правую части и про­читаем их, то получим утверждения относительно компонентов дей­ствия. Например, а + Ъ = с <-> а = с - Ъ , Ъ = с - а , что читается так: «Слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого». Если это слагаемое по каким-либо причинам было нам неизвестно, то мы получаем возможность его найти. В этом случае формулируют пра­вила: как найти неизвестное слагаемое (вычитаемое, уменьшаемое, множитель, делимое, делитель), которые могут быть использованы при решении уравнений.

Рассмотренные зависимости являются важными зависимостями при изучении арифметических действий и потому рассматривают­ся обычно в процессе этого изучения. При планировании перехода к способу решения уравнений на основе этих зависимостей нужно на нескольких предыдущих уроках актуализировать знания этих зави­симостей, правил нахождения неизвестного компонента действий.

Чтобы перейти к способу решения уравнений на основе указан­ных зависимостей, нужно от уравнения как от равенства с пере­менной, которое не является верным числовым равенством, перей­ти к верному числовому равенству (представленные зависимости и правила применимы только к верным числовым равенствам). Для этого применяют прием, который можно назвать «выдаем желаемое за действительное». Этот прием заключается в том, что мы «делаем вид», что уравнение - это верное числовое равенство. Нам нужно, чтобы уравнение было верным числовым равенством - мы и назна­чим его быть таковым! В математике довольно часто используют этот прием. Говорят: «Пусть …». Принимая желаемое за действительное, получают следствия, приводящие к новым знаниям.

Пусть нам нужно решить уравнение: х + 18 = 42. Мы пока не зна­ем значения х, т. е. не знаем имени или цифрового общепринятого обозначения числа, при подстановке которого вместо х, равенство было бы верным. Но скажем: пусть х будет не переменной, а тем чис­лом, которое в сумме с 18 дает число 42, т. е. х и есть то самое число, которое является корнем уравнения. Просто оно записано не цифра­ми! И в этом смысле можно назвать его неизвестным нам. Тогда х + 18 = 42 есть истинное (верное) числовое равенство, утверждающее, что сумма числа х и числа 18 равна 42. Для такой суммы справедли­во свойство: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое: 42 - 18 = х, или: чтобы найти неизвестное слагае­мое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое х = 42 - 18. Вы­полнив вычитание, получаем искомое значение х = 24 - цифровую запись слагаемого и значения переменной х, при котором уравнение обращается в верное равенство (24 - корень уравнения).

Урок, на котором первый раз обсуждается вопрос, как еще, кро­ме подбора можно найти корень уравнения может быть проведен по плану: а) актуализация знания зависимостей между компонентами и результатами изученных действий (сложения и вычитания); б) по­становка проблемы и учебной задачи: открыть, узнать новый способ решения уравнений, научиться решать простейшие уравнения новым способом; в) открытие нового способа в процессе обсуждения воз­можности применения свойств арифметических действий (зависимо­стей между компонентами и результатами действий), представление способа в форме алгоритмического предписания (перечня операций); г) применение нового способа к решению уравнений; д) подведение итога по теме «Решение уравнений на основе зависимостей между компонентами и результатами действий».

Полагаем, что введение уравнений и названных способов реше­ния произойдет не позднее второго класса, на материале действий сложения и вычитания, поэтому дальнейшее развитие темы будет идти по трем направлениям: простейшие уравнения с действиями умножения и деления; уравнения, требующие преобразования вы­ражений для перевода к основным видам простейших уравнений; уравнения сложной структуры. Виды простейших уравнений с умно­жением и делением: 2х = 8, х : 3 = 9, 24: х = 10. Примерный вид урав­нений, требующих преобразования числовых выражений: 3 + х + 17 = 18 · 3. Пример видов уравнений сложной структуры: (х + 4) · 5 = = 40, (х + 4) · 5 - 25 = 15. Уравнения для решения могут задаваться учебником, составляться самими учащимися, в том числе по тексто­вым задачам.

Значение изобретения уравнений в познании мира, решении за­дач осознается учащимися при применении их к решению текстовых задач. Как отмечалось, основной частью такого решения является составление уравнения, которое может рассматриваться как перевод текста с естественного языка на математический (см. гл. 5).

Завершая разговор о представлении алгебраической линии в на­чальном математическом образовании еще раз подчеркнем ее зна­чимость как средства обобщения, средства понимания сущности ма­тематики как всеобщего языка познания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Какая связь между алгеброй и арифметикой? Как вы понимаете слова Исаака Ньютона, что алгебра - это «всеобщая арифметика»?

Что такое «математическая структура»? Какие свойства множества на­туральных чисел и нуля позволяют утверждать, что это множество явля­ется структурой? Как можно использовать этот факт в обучении матема­тике учащихся начальной школы?

Приведите примеры заданий и вопросов, которые бы побуждали учащих­ся к обобщению арифметических действий и их свойств.

Какие средства письменного языка математики предназначены для утверждений о любых числах? Какие письменные знаки можно исполь­зовать для общих утверждений о числах, отношениях и действиях с чис­лами при обучении младших школьников? Как включить учащихся в про­цесс изобретения таких средств?

Что такое «буквенная символика» и как она может быть использована в начальном обучении математике?

Какую роль играет понятие выражения в математическом образовании младших школьников? Какие виды математических выражений рассма­триваются в начальной школе? Чему нужно и можно научить учащихся при изучении ими выражений? Перечислите соответствующие предмет­ные результаты.

Чем отличаются числовые равенства и неравенства от отношений равен­ства и неравенства между числами? Какова связь этих понятий? Как по­казать эти отличия и эту связь учащимся?

В чем сходство и отличия понятий «переменная» и «неизвестное»? Как это отражается в характеристике понятия «уравнение»?

Почему способ решения уравнений «подбором» является ключевым при обучении математике в начальной школе? Какие еще способы решения уравнений доступны учащимся начальной школы?

10. Как перейти от решения уравнений подбором к решению уравнений другим способом, чтобы смысл уравнения как равенства с переменной оставался неизменным?

Гл а в а 9

Геометрическое образование младших школьников

В настоящее время образовательные стандарты стали все больше обращаться к компетенциям как к ведущему критерию подготовленности учащихся к эффективной деятельности в определенной сфере. Одна из компетенций – умение ориентироваться в информации, умение ее получать, анализировать и т.д., т.е. учащиеся должны владеть определенными общими приемами деятельности. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс) мы рассмотрим один из таких приемов, касающийся анализа данной системы и построения (выбора) способа ее решения в зависимости от ее вида. При этом закладывается такое важное качество знаний, которое называется обобщенностью .

Основные общие методы решения систем уравнений отрабатываются в средней школе при изучении темы “Системы линейных уравнений” в 7-ом классе. Это метод подстановки, метод сложения, уравнивания коэффициентов. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс по учебнику С.М. Никольского и др.) обычно предполагается тренировка тех же методов на системах другого вида и иногда введение дополнительных общих методов решения систем.В реальной практике, когда ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный способ решения заданной системы. Нами была сделана попытка формирования такой системы знаний и умений.Ведьрешение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и пр. явлений и процессов.

Покажем на примере нескольких уроков для 8-го класса, каким образом мы планируем организовать совместную деятельность учащихся и учителя по выделению содержания названного умения на первом этапе . Так как одним из компонентов является анализ заданной системы на наличие решений, то один из первых уроков посвятим именно этому вопросу. Затем попытаемся выделить общий прием решения систем уравнений и связать с известными школьникам методами. Для этого нами разработаны рекомендации и специальная система заданий. Принципы построения системы заданий для первого этапа обучения следующие:

– порядок заданий фиксирован, он выполняет направляющую функцию, позволяя школьникам вместе с учителем выстроить ориентировочную основу деятельности по решению произвольной системы рациональных уравнений и создать в итоге схему ее решения,

– каждая следующая система связана с предыдущими заданиями и рассуждениями, но содержит в себе одну или несколько новых важных идей, логично развивающих тему,

– переменные в системах варьируются: не всегда привычные x и y (ведь при моделировании системами уравнений реальных задач из самых разных областей не всегда удобно вводить обозначения x и y ),

– помимо заданий, где система уравнений задана, предлагаются и творческие задания, связанные с придумыванием тех или иных систем.

Материалы к урокам

1. Системы, не имеющие решений.

а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):

№ 1. Ответ : .

Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:

и т.д. Ответ : .

Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).

№ 2. Ответ : .

Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.

№ 3. Ответ : .

Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.

Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.

№ 4. Ответ : .

Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.

№ 5. Ответ : .

Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.

б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):

№ 6. Ответ : .

В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x . Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.

Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.

Обсуждение: Как еще можно “построить” противоречивое уравнение? Какие ограничения на значения выражений могут быть? Из этой части урока делам вывод о том, что уравнение (а значит и соответствующая система уравнений) не имеет решений, когда:

а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:

ограничения по знаку: , , ,

дробь при ,

комбинации: , , при и и т.п.

б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):

Не существует при ,

Не существует при .

Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).

в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:

№ 7. Ответ : .

Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.

№ 8. Ответ : .

Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.

Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.

Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:

Система, не имеющая решений	Система, имеющая решения

Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов :

1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,

2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,

3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.

После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.

На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.

Стоит обратить внимание школьников на различные термины , употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.

Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание : заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.

2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную .

№ 9. Ответ : и .

Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d ), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z . Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.

При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y ?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y ).

3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена .

Вспоминаем стандартный метод подстановки , известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.

Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение . Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”

Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной , используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z . Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.

Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).

Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы , позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.

Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!

4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены .

На примере этой системы можно “изобрести” новый для 8-классников метод – метод почленного деления . Эта система решается методом деления и решается методом обобщенной подстановки, который в данном случае фактически дублирует в неявном виде метод деления.

Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.r 2) или с дробными (если подставлять j 2). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену , но необходимости нет.

Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).

7. Случай, когда удобна замена неизвестной

Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной .

8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.

№ 21. Ответ : и .

Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.

Из очередной части урока делаем вывод :

Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.

На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы , отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Перед введением понятия «уравнение» необходимо повторить понятия: равенство, верное равенство, значение выражения. А также проверить уровень сформированности навыка читать буквенные выражения.

Изучение уравнений в младших классах должно подготовить учащихся к решению уравнений в средних и старших классах. Решение уравнений способствует формированию знаний о свойствах арифметических действий и формированию вычислительных навыков, а также развитию мышления учащихся.

Задачи обучения в данной теме:

• сформировать у учащихся представление об уравнении на уровне узнавания;
• сформировать умение понимать смысл задания «решить уравнение»;
• научить читать, записывать, решать уравнения той сложности, которая определена программой;
• научить решать задачи с помощью уравнений (алгебраический способ решения).

Основные подходы к обучению решению уравнений:

1) Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, М.А.Бантова, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.

Этапы изучения уравнений:

1) Подготовительный

Подготовительные упражнения:

1. Какие записи верны?

3 + 5 = 8 7 + 2 = 10 10 – 4 = 5

Как изменить результат, чтобы записи стали верными??

2. Почитай выражение: 15 - в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.

3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.

3+ □ =9 4, 5, 6 , 7

□ - 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

2) Введение понятия «уравнение»

Учащимся сообщается, что в математике вместо □ используется латинские буквы (х, у, а, в, с) и такие записи называются уравнением: 3+х=6, 10: х = 5 и т.п.

Важно на этом этапе закрепить у учащихся умение узнавать уравнение среди математических выражений: «Найди уравнение среди предложенных записей: х+5=6, х-2, 9=х+2, 3+2=5».

3) Формирование умения решать уравнения

Способы решения уравнений:

В курсе математики УМК «Школа России»:

• подбор (его применение на первых этапах является необходимым для того, чтобы учащиеся усвоили суть решения уравнения);
• на основе знания зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.

По программе И.И.Аргинской (система обучения Л.В.Занкова):

• подбор;
• с использованием числового ряда, например: х+3=8
• по таблице сложения;
• с опорой на десятичный состав, например: 20+х=25. Число 20 содержит 2 десятка, 25 – это 2 десятка и 5 единиц, значит х=5 единицам;
• на основе зависимости между компонентами и результатом действий;
• с опорой на основные свойства равенств: 15●(х+2) = 6● (2х+7)

а) воспользуемся правилом умножения числа на сумму: 15х+30=12х+42 (распределительный закон);

б) вычтем из обеих частей равенства 30: 15х=12х+12;

в) вычтем из обеих частей равенства 12х: 3х=12;

г) найдем неизвестный множитель: х=12: 3; х=4.

В курсе математики Л.Г.Петерсон («Школа 2000…) учащиеся знакомятся со следующими способами решения уравнений:

· подбор;

· на основе зависимости между компонентами и результатом действий (между частью и целым);

· исходя из понятий «часть-целое», с использованием схемы в виде отрезка:

· с помощью модели числа;

· с помощью числового луча;

· на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами.

В курсе математики В.Н.Рудницкой («Начальная школа XXI века») в процессе решения уравнений широко используются графы. Например: х+3=6, х:3=18

При проверке уравнения следует показать учащимся, что результат, полученный в левой части уравнения, нужно сравнить со значением в правой части. Необходимо добиться осознанного выполнения проверки.

4) Формирование умения решать задачи с помощью уравнений.

Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:

1. Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.

2. Поиск решения:

· выделение неизвестных чисел;

· выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;

· переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;

· запись полученного текста.

3. Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.

4. Проверка решения задачи любым известным способом.

5. Формулирование ответа на вопрос задачи.

Задача: На двух заводах выплавили за сутки 8430т стали. На первом заводе выплавили в два раза больше стали, чем на втором. Сколько стали выплавили на первом заводе и сколько на втором?

2х т + х т = 8430т

х т стали выплавил второй завод, 2х т стали выплавил первый завод, (х+2х)т стали – два завода вместе. По условию известно, что это равно 8430т.

Проверка: 2810+2●2810 = 8430

2810т стали выплавил второй завод, тогда 2810●2=5620т стали выплавил первый завод.

Ответ: 2810т стали выплавил второй завод, 5620т стали выплавил первый завод.

Виды упражнений, направленные на обучение младших школьников решению уравнений в учебниках математики УМК «Школа России»

	Вид упражнения	Пример задания
	Задания с «окошками» и пропусками чисел	2) Какие числа пропущены? 3) Заполни пропуски так, чтобы равенства стали верными. 12+□=20 8+7-□=14 11-□=5 □-6=7
	Нахождение уравнений среди других математических записей	1) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши. 30+х>40 45-5=40 60+х=90 80-х 38-8<50 х-8=10 2) Найди лишнюю запись: х+3=15 9+в=12 с-3 15-d=7
	Решение уравнения подбором	1) Из чисел 7, 5, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство. 9+х=14 7-х=2 х-1=0 х+5=6 х+7=10 5-х=4 10-х=5 х+3=4 2) Прочитай уравнение и подбери такое значение неизвестного, при котором получится верное равенство. k+3 = 13 18=y+10 14=х+7 3) Подбирая значения х, реши уравнения: х 6=12 4 х=12 12:х=3
	Нахождение неизвестного компонента арифметического действия	2) Реши уравнения с объяснением: 43+х=90 х-28=70 37-х=50 Закончи выводы: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо… Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо… Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо…
	Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного	1) Реши уравнения: 73-х=70 35+х=40 k-6=24 2) Реши уравнения и сделай проверку: 28+х=39 94-х=60 х-25=75 3) Чему равен х в следующих уравнениях? х+х+х=30 х-18=16-16 43 х=43:х х+20=12+8 4) Реши уравнения с объяснением: 18 х=54 х:16=3 57:х=3 5) Запиши уравнения и реши их: А) Неизвестное число разделили на 8 и получили 120. Б) На какое число нужно разделить 81, чтобы получить 3?
	Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного, но с дополнительным условием	1) Выпиши те уравнения, решением которых является число 10. х+8=18 47-у=40 у-8=2 у-3=7 50-х=40 х+3=13 2) Подбери пропущенные числа и реши уравнения: х+□=36 х-15=□ □-х=20 3) Выпиши уравнения, которые решаются вычитанием, и реши их: х-24=46 х+35=60 39+х=59 72-х=40 х-35=60
	Объяснение уже решенных уравнений, поиск ошибок	1) Объясни решение уравнений и проверку: 76:х=38 х 7=84 х=76:38 х=84:7 х=2 х=12 2) Найди уравнения, решенные неправильно и реши их: 768-х=700 х+10=190 х-380=100 х=768-700 х=190+10 х=380-100 х=68 х=200 х=280
	Сравнение уравнений без вычисления и с вычислением значения неизвестного, сравнение решений уравнений	1) Сравни уравнения каждой пары и скажи, не вычисляя, в котором из них значение х будет больше: х+34=68 96-х=15 х+38=68 96-х=18 2) Сравни уравнения каждой пары и их решения: х 3=120 х+90=160 75 х=75 х:3=120 х-90=160 75+х=75
	Решение задач алгебраическим способом	1) Реши задачи, составив уравнение: А) Произведение задуманного числа и числа 8 равно разности чисел 11288 и 2920. Б) Частное чисел 2082 и 6 равно сумме задуманного числа и числа 48. 2) Реши задачу: «В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?»

2) Более позднее ознакомление младших школьников с уравнением и способами его решения (4 класс). Длительный подготовительный период (Н.Б.Истомина). Направленность заданий на развитие основных приемов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение).

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.