Расчет индукции магнитного поля кругового тока. Магнитное поле в центре кругового проводника с током

Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис. 6.17-1), создаваемого элементом проводника Idl , равна

поскольку в данном случае

Рис. 6.17. Магнитное поле на оси кругового тока (слева) и электрическое поле на оси диполя (справа)

При интегрировании по витку вектор будет описывать конус, так что в результате «выживет» только компонента поля вдоль оси 0z . Поэтому достаточно просуммировать величину

Интегрирование

выполняется с учетом того, что подынтегральная функция не зависит от переменной l , а

Соответственно, полная магнитная индукция на оси витка равна

В частности, в центре витка (h = 0) поле равно

На большом расстоянии от витка (h >> R ) можно пренебречь единицей под радикалом в знаменателе. В результате получаем

Здесь мы использовали выражение для модуля магнитного момента витка Р m , равное произведению I на площадь витка Магнитное поле образует с круговым током правовинтовую систему, так что (6.13) можно записать в векторной форме

Для сравнения рассчитаем поле электрического диполя (рис. 6.17-2). Электрические поля от положительного и отрицательного зарядов равны, соответственно,

так что результирующее поле будет

На больших расстояниях (h >> l ) имеем отсюда

Здесь мы использовали введенное в (3.5) понятие вектора электрического момента диполя . Поле Е параллельно вектору дипольного момента, так что (6.16) можно записать в векторной форме

Аналогия с (6.14) очевидна.

Силовые линии магнитного поля кругового витка с током показаны на рис. 6.18. и 6.19

Рис. 6.18. Силовые линии магнитного поля кругового витка с током на небольших расстояниях от провода

Рис. 6.19. Распределение силовых линий магнитного поля кругового витка с током в плоскости его оси симметрии.
Магнитный момент витка направлен по этой оси

На рис. 6.20 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.

Магнитные силовые линии для витка, ось которого лежит в плоскости пластинки, сгущаются внутри витка. Вблизи проводов они имеют кольцевую форму, а вдали от витка поле быстро спадает, так что опилки практически не ориентируются.

Рис. 6.20. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током

Пример 1. Электрон в атоме водорода движется вокруг протона по окружности радиусом а B = 53 пм (эту величину называют радиусом Бора по имени одного из создателей квантовой механики, который первым вычислил радиус орбиты теоретически) (рис. 6.21). Найти силу эквивалентного кругового тока и магнитную индукцию В поля в центре окружности.

Рис. 6.21. Электрон в атоме водорода а B = 2,18·10 6 м/с. Движущийся заряд создает в центре орбиты магнитное поле

Этот же результат можно получить с помощью выражения (6.12) для поля в центре витка с током, силу которого мы нашли выше

Пример 2. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет кольцеобразную петлю радиусом 10 см (рис. 6.22). Найти магнитную индукцию в центре петли.

Рис. 6.22. Магнитное поле длинного проводника с круговой петлей

Решение. Магнитное поле в центре петли создается бесконечно длинным прямолинейным проводом и кольцевым витком. Поле от прямолинейного провода направлено ортогонально плоскости рисунка «на нас», его величина равна (см. (6.9))

Поле, создаваемое кольцеобразной частью проводника, имеет то же направление и равно (см. 6.12)

Суммарное поле в центре витка будет равно

Дополнительная информация

http://n-t.ru/nl/fz/bohr.htm - Нильс Бор (1885–1962);

http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/broil/06.php - теория Бора атома водорода в книге Луи де Бройля «Революция в физике»;

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html - Нобелевские премии. Нобелевская премия по физике 1922 г. Нильс Бор.

Магнитное поле тока:

Магнитное поле создается вокруг электрических зарядов при их движении. Так как движение электрических зарядов представляет собой электрический ток, то вокруг всякого проводника с током всегда существует магнитное поле тока .

Чтобы убедиться в существовании магнитного поля тока, поднесем сверху к проводнику, по которому протекает электрический ток, обыкновенный компас. Стрелка компаса тотчас же отклонится в сторону. Поднесем компас к проводнику с током снизу - стрелка компаса отклонится в другую сторону (рисунок 1).

Применим закон Био–Савара–Лапласа для расчета магнитных полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле прямого тока.

Все векторы dB от произвольных элементарных участков dl имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей.

Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка видно, что:

;

Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим:

Для конечного проводника угол α изменяется от , до. Тогда

Для бесконечно длинного проводника , а , тогда

или, что удобнее для расчетов, .

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему концентрических окружностей, охватывающих ток.

21. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока.

Магнитное поле кругового проводника с током.

22. Магнитный момент витка с током. Вихревой характер магнитного поля.

Магнитный момент витка с током это физическая величина, как и любой другой магнитный момент, характеризует магнитные свойства данной системы. В нашем случае систему представляет круговой виток с током. Этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с внешним магнитным полем. Это может быть как поле земли, так и поле постоянного или электромагнита.

Рисунок - 1 круговой виток с током

Круговой виток с током можно представить в виде короткого магнита. Причем этот магнит будет направлен перпендикулярно плоскости витка. Расположение полюсов такого магнита определяется с помощью правила буравчика. Согласно которому северный плюс будет находиться за плоскостью витка, если ток в нем будет двигаться по часовой стрелке.

Рисунок- 2 Воображаемый полосовой магнит на оси витка

На этот магнит, то есть на наш круговой виток с током, как и на любой другой магнит, будет воздействовать внешнее магнитное поле. Если это поле будет однородным, то возникнет вращающий момент, который будет стремиться развернуть виток. Поле буде поворачивать виток так чтобы его ось расположилась вдоль поля. При этом силовые линии самого витка, как маленького магнита, должны совпасть по направлению с внешним полем.

Если же внешнее поле будет не однородным, то к вращающему моменту добавится и поступательное движение. Это движение возникнет вследствие того что участки поля с большей индукцией будут притягивать наш магнит в виде витка больше чем участки с меньшей индукцией. И виток начнет двигаться в сторону поля с большей индукцией.

Величину магнитного момента кругового витка с током можно определить по формуле.

Где, I ток протекающий по витку

S площадь витка с током

n нормаль к плоскости в которой находится виток

Таким образом, из формулы видно, что магнитный момент витка это векторная величина. То есть кроме величины силы, то есть ее модуля он обладает еще и направлением. Данное свойство магнитный момент получил из-за того что в его состав входит вектор нормали к плоскости витка.

Все элементы (dl) кругового тока создают в центре круга индукцию (dB);

откуда (61)

(62)

Закон Ампера устанавливает силу, действующую на проводник с током (модуль силы) в магнитном поле:

Направление силы Ампера определяется с помощью правила левой руки.

Взаимодействие двух проводников. Рассмотрим взаимодействие двух бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами и , находящихся на расстоянии R.

Используя закон Ампера (63) и формулу для магнитной индукции (60), учитывая, что для силы взаимодействия двух токов получим

(64)

Сила Лоренца – сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле:

(65) или (66)

Направление силы определяется с помощью правила левой руки (на положительный заряд).

Радиус вращения r найдем из равенства

(67)

Период обращения:

(68), отсюда (69) т.е. период движения частиц не зависит от их скорости. Это используется в ускорителях элементарных частиц – циклотронах.

Ускорители делятся на: линейные, циклические и индукционные. Для ускорения релятивистских частиц используют: фазотрон – увеличивается частота переменного электрического поля, синхротрон – увеличивается магнитное поле, синхрофазотрон – увеличивается частота и магнитное поле.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

(70)

(71) где - проекция вектора на направление нормали ,

α – угол между и

Cуммарное значение потока:

. (72)

Рассмотрим в качестве примера магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током I , находящегося в вакууме. Циркуляция вектора вдоль произвольной линии магнитной индукции – окружности радиуса r:
Т.к. во всех точках линии индукции равен по модулю и направлен по касательной к линии, так что , следовательно:
Т.е. циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции и равна произведению магнитной постоянной на силу тока. Таков вывод справедлив для любого произвольного замкнутого контура, если внутри его протекает ток. Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора вдоль этого контура равна 0. Если токов много, то берется алгебраическая сумма токов.

Теорема: Циркуляция магнитной индукции поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура L равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром. Этот закон можно также записать:

(73)

Лекция 9

3.2.(2часа) Магнитные свойства вещества. Молекулярные токи. Диа -, пара – и ферромагнетики. Вектор намагниченности. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость. Представление о ядерном магнитном резонансе и электронном парамагнитном резонансе.

Магнитные моменты электронов и атомов. Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. С точки зрения строения атомов, электрон, движущийся по круговой орбите обладает орбитальным магнитным моментом:

(74) его модуль

(75) где - сила тока,

Частота вращения,

S – площадь орбиты.

Направление вектора определяется правилом буравчика. Электрон, движущийся по орбите, обладает также механическим моментом импульса , модуль которого

- орбитальный механический момент электрона. (76) где ,

Направления и противоположные, т.к. заряд электрона отрицательный. Из (75) и (76) получим

(77) где - гиромагнитное отношение. (78)

Формула справедлива и для некруговых орбит. Экспериментально величину g определили Эйнштейн и де Гааз (1915). Оно оказалось равным , т.е в два раза большим, чем (78). Тогда было предположено, а в последствии доказано, что кроме орбитальных моментов электрон обладает собственным механическим моментом импульса , называемым спином. Спину электрона соответствует собственный (спиновый) магнитный момент : . Величина называется гиромагнитным отношением спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора может принимать только одно из следующих двух значений ±еħ/2m= , где ħ= , h – постоянная Планка, - магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона. Общий магнитный момент атома (молекулы) равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) электронов: .

Диа – и парамагнетизм. Всякое вещество является магнетиком , т.е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться.

Если орбита электрона ориентирована относительно вектора внешнего поля произвольным образом, составляя с ним ےα, то орбита и вектор придут во вращение, которое называется прецессией (движение волчка). Прецессионное движение эквивалентно току. Наведенные составляющие магнитных полей атомов складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, которое накладывается на внешнее магнитное поле и внутри магнетика образуется результирующее магнитное поле.

Диамагнетики – это такие вещества, в которых уменьшается магнитное поле. Для них магнитная проницаемость немного меньше 1 составляет μ ≈ 0,999935. (Объясняется действием правила Ленца). Диамагнетизм свойственен всем веществам.

Парамагнетики – вещества, в которых увеличивается магнитное поле при действии внешнего поля, для них μ больше 1, например, μ ≈ 1,00047. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы: Pt, Al, CuSO 4 и т.д. Объясняется ориентацией орбитальных и спиновых магнитных моментов атомов в магнитном поле. При прекращении действия внешнего магнитного поля ориентация разрушается тепловым движением атомов и парамагнетик размагничивается. Магнитная проницаемость парамагнетиков превышает таковую для диамагнетиков.

Для количественного описания намагничивания магнетиков вводят векторную величину – намагниченность , определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

(79) где - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул. Вектор результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля и поля микротоков (молекулярных токов) : , отсюда В несильных полях намагниченность пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание, т.е. , где χ –магнитная восприимчивость вещества. Для диамагнетиков она отрицательна, для парамагнетиков – положительна. Из вышеприведенных формул: Здесь , используя эту формулу придем к известной формуле

Явление электронного парамагнитного резонанса было открыто в Казани в 1945 году ученым Е.К.Завойским, сотрудником Казанского университета. Сущность явления заключается в резонансном поглощении высокочастотного электромагнитного поля при его воздействии на парамагнитное вещество, которое находится в постоянном магнитном поле. При этом частота Ларморовой процессии спинов электронов совпадает с частотой внешнего электромагнитного поля и электрон поглощает эту энергию.

Магнитные моменты ядер атомов значительно слабее магнитных моментов электронов, поэтому ядерный магнитный резонанс был открыт позже, чем электронный, 1949 году в США. Процесс аналогичен электронному, но получил более широкое применение для исследования веществ. Вершиной этого применения является создание ЯМР – томографов.

Ферромагнетики. К ним относятся: железо, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения. μ>>1, составляет несколько тысяч.

I нас – магнитное насыщение.

При насыщении ориентируется все большее количество магнитных моментов.

Характерной особенностью ферромагнетиков является то, что для них зависимость I от Н (а следовательно В от Н) имеет вид петли, которая получила название петли гистерезиса: 0 – размагниченный; 1 – насыщение (); 2 – остаточная намагниченность (), постоянные магниты; 3 – размагничивание ( – коэрцитивная сила); дальше – повторяется.

Ферромагнетики с малой коэрцитивной силой называются 1)мягкими, а с большой коэрцитивной силой – 2)жесткими. Первые применяются для сердечников трансформаторов и электрических машин (двигателей и генераторов), вторые – для постоянных магнитов. Точка Кюри – температура, при которой ферромагнетик теряет магнитные свойства и превращается в парамагнетик. Процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изменением их линейных размеров и объема. Это явление получило название магнитострикция. Ферромагнетики имеют доменную структуру: микроскопические объемы, в которых магнитные моменты ориентированы одинаково. В ненамагниченном состоянии магнитные моменты доменов направлены хаотично и результирующее поле равно нулю. При намагничивании ферромагнетика магнитные моменты доменов скачкообразно поворачиваются и устанавливаются вдоль поля и ферромагнетик намагничивается. Как только сориентируются все домены, так намагниченность достигает насыщения. При остаточной намагниченности () – ориентированы часть доменов.

Существуют антиферромагнетики (соединения MnO, MnF 2 , FeO, FeCl 2).

В последнее время большое значение приобрели ферриты – полупроводниковые ферромагнетики, химические соединения типа , где Ме – ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni, Cu, Zn, Cd, Fe). Они обладают заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электрическим сопротивлением (в миллионы раз больше чем у металлов). Нашли широкое применение в электротехнике и радиотехнике.